Exposés

Marc Arnaudon
Couplage de mouvements browniens avec des processus duaux à valeur ensemble dans des variétés riemanniennes [pdf]

Dans cet exposé, on étudiera l'évolution conjointe de mouvements browniens dans des variétés riemanniennes avec des processus à valeur ensemble, satisfaisant une propriété d'entrelacement markovien : les flots de courbure moyenne stochastique renormalisés. La construction proposée généralise au processus dans les variétés riemanniennes le théorème "2M-X" de Pitman. On s'intéressera à différentes formes de couplages (synchrone ou indépendant), ainsi qu'à la durée de vie des processus. Le squelette morphologique des domaines jouera un rôle prépondérant.

Magalie Bénéfice
Couplages de mouvements browniens non co-adaptés [pdf]

Les couplages de mouvements browniens ont de nombreuses applications. En particulier, les couplages dits "avec succès" sont utiles dans l'étude de la distance en variation totale entre deux mouvements browniens mais aussi dans l'étude des fonctions harmoniques. Dans cet exposé nous proposons l'étude de couplages non co-adaptés avec succès notamment en géométrie sous-riemannienne.

Josué Corujo Rodriguez
The standard augmented multiplicative coalescent revisited [pdf]

The Erdős-Rényi random graph is a classic random graph model where vertices are connected with a certain probability. We consider a continuous-time version of this model, where all vertices have the same mass and any edge appears with a rate proportional to the product of the sizes of the vertices. In addition, we do not restrict the graph to be simple, i.e. we allow the existence of multi-edges and self-loops. It is well-known that the size of the connected component of this graph follows the standard multiplicative coalescent dynamics. Besides, when accounting for the additional information consisting in the number of surplus edges, the resulting process follows the so-called standard augmented multiplicative coalescent dynamic. During this talk, we will explain how using a graph exploration process called simultaneous breadth-first walk we can show in a simple way the scaling limits of the standard augmented multiplicative coalescent. Even if this result is already known, our proof is much more simple and direct than those encounters in the bibliography. Furthermore, this framework could potentially be extended to the study of general non-standard augmented multiplicative coalescent as scaling limit of inhomogeneous random graphs. This is a work in progress, in collaboration with Vlada Limic (CNRS, Université de Strasbourg).

Adrien Cotil
A probabilistic proof for the flocking of the Cucker-Smale model [pdf]

The Cucker-Smale equations are widely studied for consensus dynamic or herd formation. One of the main issues is to find sufficient conditions to observe the alignement of agents : this is called the flocking phenomenon. Through a probabilistic interpretation of the Cucker-Smale model, we prove that the flocking phenomenon is equivalent to the convergence of a certain time inhomogeneous Markov jump processes. We then prove this convergence by the studying the associated Dobrushin ergodicity coefficient.

Koléhè Coulibaly-Pasquier
Flot de courbure moyenne stochastique renormalisé pour des convexes dans le plan

Nous nous intéresserons au flot par courbure moyenne stochastique renormalisé, apparaissant comme processus dual du mouvement brownien dans le plan. Nous donnerons des conditions pour que son temps de vie soit infini, et nous présenterons sa forme asymptotique. C'est un travail en commun avec Marc Arnaudon et Laurent Miclo.

Shiva Darshan
Sticky coupling as a control variate for computing transport coefficients [pdf]

A standard method to compute transport coefficients is to simulate Langevin dynamics perturbed by a small non-equilibrium forcing up to a time \(T\) and time-average over the trajectory a desired observable divided by the magnitude of the forcing, \(\eta\). Unfortunately, this method suffers from large finite-time sampling bias and variance in the limit of small forcing—on the order of \((T\eta)^{-1}\) and \((T\eta^2)^{-1}\) respectively. For overdamped Langevin dynamics, we propose a method to reduce the bias and variance of this computation using a version of the reference (unperturbed) dynamics sticky coupled to the perturbed dynamics as a control variate. We will show that when the potential of the dynamics is strongly convex at infinity, this sticky coupling based estimator's reduces the bias and variance by a factor of \(\eta^{-1}\) compared to the standard method. The case of strongly convex at infinity potentials includes commonly used systems such as Lennard-Jones particles confined to box by a quadratic potential.

Joaquín Fontbona
Quantitative mean-field limit for interacting branching diffusions [pdf]

We establish an explicit rate of convergence for some systems of mean-field interacting diffusions with logistic binary branching, towards solutions of nonlinear evolution equations with non-local self-diffusion and logistic mass growth describing their large population limit. The proof relies on a novel coupling argument for binary branching diffusions based on optimal transport, allowing us to sharply mimic the trajectory of the interacting branching population by means of a system of independent particles with suitably distributed random space-time births. We are thus able to derive an optimal convergence rate, in the dual bounded-Lipschitz distance on finite measures, for the empirical measure of the population, from the known convergence rate in \(2\)-Wasserstein distance of empirical distributions of i.i.d. samples. Our approach and results extend propagation of chaos techniques and ideas from kinetic models, to stochastic systems of interacting branching populations, and appear to be new in this setting, even in the simple case of pure binary branching diffusions. Joint work with Felipe Muñoz-Hernandez

Jorge González Cázares
Quand l'enveloppe convexe d'un chemin de Lévy est-elle lisse ? [pdf]

Nous caractérisons la classe des processus de Lévy unidimensionnels dont le graphe a une enveloppe convexe continûment dérivable (planaire). Nous montrons que ce phénomène est présenté par une large classe de processus de Lévy à variation infinie et dépend subtilement du comportement de la mesure de Lévy à zéro. Nous introduisons les « processus de Lévy fortement érodés », dont les dérivées de Dini s'annulent à chaque minimum local de la trajectoire sous toute perturbation de dérive linéaire, et prouvons que ce sont précisément les processus à enveloppes convexes lisses. Nous étudions comment le lissage de l'enveloppe convexe peut se briser et construisons des exemples présentant une variété de comportements lisses/non lisses. Nous quantifions aussi la lisseté de l'enveloppe convexe.

Samuel Herrmann
Approximation forte de quelques diffusions [pdf]

Dans cet exposé, je présente une nouvelle technique pour approcher des diffusions unidimensionnelles linéaires, l'approximation epsilon-forte. En collaboration avec M. Deaconu, nous proposons une procédure explicite et facile à mettre en oeuvre qui construit conjointement les suites de temps de sortie et les positions de sortie correspondantes de certains domaines bien choisis. Les résultats principaux concernent le contrôle du nombre d'étapes nécessaires pour couvrir un intervalle de temps fixé et la convergence du schéma numérique.

Antonin Jacquet
Motifs empruntés par les géodésiques en percolation de premier passage [pdf]

En percolation de premier passage, on considère une famille de variables aléatoires i.i.d. indexées par l’ensemble des arêtes du graphe \(\mathbb{Z}^d\), appelées temps de passage. On peut associer à tout chemin fini dans ce graphe un temps de passage qui est la somme du temps de passage de chaque arête qu’il emprunte. Une géodésique entre deux sommets est alors un chemin optimal pour ces temps. On appelle « motif » une propriété locale de l’environnement des temps. On fixe un motif et on s’intéresse au nombre de fois qu’une géodésique emprunte une translation de celui-ci. L’objectif est de présenter un résultat garantissant, sous des conditions raisonnables, qu’en dehors d’un événement de probabilité exponentiellement faible, pour toute géodésique, ce nombre est linéaire en la distance entre les extrémités de la géodésique.

Sabine Jansen
Duality, interacting particle systems, and infinite-dimensional orthogonal polynomials [pdf]

Studying the time-evolution of a many-particle system is a difficult task. For some interacting particle systems in \( \mathbb{Z}^d \), duality and intertwining allow to map the time evolution of one- or two-point correlation functions of a many-particle system to the time evolution of a one- or two-particle system, a considerable simplification. Often duality functions are products of univariate orthogonal polynomials, one for each site of the lattice. In the talk I will explain how to generalize these dualities, and the algebraic approach with representations of Lie algebras, to particles in \( \mathbb{R}^d \). This brings in Lévy point processes and infinite-dimensional orthogonal polynomials. Based on joint work with Simone Floreani, Frank Redig and Stefan Wagner.

Aldéric Joulin
Trou spectral pour des mesures log-concaves sur des corps convexes [pdf]

Motivés par certaines questions statistiques en analyse de sensibilité, nous établissons des bornes inférieures explicites par rapport à certaines quantités d'intérêt (paramètres de la loi sous-jacente, dimension, caractéristiques géométriques du domaine, etc.) sur le trou spectral des mesures de probabilité log-concaves sur des corps convexes. Nos résultats seront illustrés par quelques exemples classiques... et moins classiques.

Alexis Kagan
Généalogie d'une marche aléatoire biaisée sur un arbre de Galton-Watson [pdf]

Nous considérons une marche aléatoire récurrente diffusive sur un arbre de Galton-Watson marqué et nous accordons une attention particulière à la trace de cette dernière, c'est-à-dire le sous-arbre des sommets distincts de l'arbre de Galton-Watson visités par cette marche. Je présenterai quelques résultats permettant de mettre en lumière les intéractions entre les sommets de la trace de cette marche aléatoire. En guise d'application, nous nous intéresserons au problème de généalogie suivant: tirons un nombre fini de sommets uniformément et sans remise dans la trace. A quoi ressemble leur arbre généalogique ? Nous tenterons de répondre assez précisément à cette question.

Emmanuel Kammerer
Distances sur les cartes \(3/2\) stables

Considérons des cartes planaires aléatoires avec des grandes faces, obtenues en associant à chaque face de degré \(k\) un poids de Boltzmann d'ordre \(1/k^2\). On peut munir ces cartes de la distance de graphe dual. Nous identifierons l'asymptotique de la distance entre deux faces uniformes et verrons que le diamètre est du même ordre, vérifiant alors qu'une telle carte ressemble à une "étoile". J'en profiterai pour présenter l'outil principal dans l'étude de ces cartes : l'exploration par épluchage. Cette exploration permet de relier les distances à une marche aléatoire conditionnée à rester positive jusqu'à ce qu'elle plonge et meure très bas sous l'axe des abscisses. Cette marche aléatoire conditionnée vérifie une limite d'échelle vers un processus appelé processus de Lévy stable conditionné à rester positif et à mourir en \(-1\).

Mahmoud Khabou
Normal approximation of compound Hawkes functionals [pdf]

We derive quantitative bounds in the Wasserstein distance for the approximation of stochastic integrals with respect to Hawkes processes by a normally distributed random variable. In the case of deterministic and nonnegative integrands, our estimates involve only the third moment of the integrand in addition to a variance term using a squared norm of the integrand. As a consequence, we are able to observe a "third moment phenomenon" in which the vanishing of the first cumulant can lead to faster convergence rates. Our results are also applied to compound Hawkes processes, and improve on the current literature where estimates may not converge to zero in large time or have been obtained only for specific kernels such as the exponential or Erlang kernels.

Van Hai Khong
Timing infectious disease control to minimize the risk of pathogen emergence [pdf]

The seasonality of the environment can have a dramatic impact on the ability of a pathogen to emerge and to induce a major epidemic. In finite host populations we identify a critical population size of the host population below which the probability of pathogen emergence is very small. This critical population size is very sensitive to the period and to the amplitude of the fluctuations of the environment. These results have practical implications for the design of more effective control strategies aiming to limit the risk of pathogen emergence. In particular we show that the deployment of pathogen control at the end of a favorable period for pathogen transmission often yields lower probability of pathogen emergence.

Arturo Kohatsu-Higa
La dérivée d'un processus de diffusion tué [pdf]

Dans cet exposé, j'essaierai d'expliquer avec des exemples très simples des résultats récents et d'autres en train d'être finis (avec Dan Crisan, Imperial College, et Fabio Antonelli, Université de l'Aquila) sur la possibilité de donner une définition pour la dérivée d'un processus de diffusion tué multidimensionnel par rapport au point de départ.

Lucile Laulin
La limite super-diffusive de la marche aléatoire de l’éléphant [pdf]

La marche aléatoire d’éléphant (ERW) est une marche aléatoire discrète qui a été introduite au début des années 2000 par deux physiciens afin d’étudier l’influence d’un paramètre de mémoire sur le comportement de la marche aléatoire. On expliquera comment le lien entre ERW et urnes de Polya généralisées permet d’obtenir des informations sur la variable aléatoire limite qui apparaît dans le régime super-diffusif.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Hélène Guérin et Kilian Raschel, réalisé dans le cadre du projet ERC COMBINEPIC (759702).

Antoine Lejay
Estimation du paramètre du mouvement brownien biaisé [pdf]

Dans cet exposé, nous présenterons des travaux concernant l’estimation du paramètre du mouvement brownien biaisé (skew Brownian motion).Cela représente un problème original en statistique de diffusion par la nature même du processus qui se comporte comme un mouvement brownien hors de zéro et qui est récurrent nul. Néanmoins, l'estimateur de maximum de vraisemblance fournit un estimateur consistant, et asymptotiquement selon une loi normale mixte faisant intervenir le temps local. Nous discuterons aussi d'une technique reposant sur un théorème des fonctions implicites asymptotiques pour donner une approximation de bonne qualité de cet estimateur à partir du score et de sa dérivée. D'après des travaux joints avec S. Mazzonetto, E. Mordecki et S. Torres.

Thibaut Lemoine
Processus déterminantaux sur des variétés complexes [pdf]

De nombreux systèmes de particules issus des matrices aléatoires sont des ensembles orthogonaux : leurs fonctions de corrélations s'expriment comme des déterminants du noyau de Christoffel-Darboux associé à des polynômes orthogonaux pour une certaine mesure sur la droite réelle ou le plan complexe. Il se trouve que le noyau de Christoffel-Darboux admet une généralisation profonde en géométrie complexe, incarnée par le noyau de Bergman d'un fibré en droites au-dessus d'une variété complexe. Je présenterai une construction de processus analogues aux ensembles orthogonaux dans ce contexte, ainsi que quelques propriétés asymptotiques de ces processus issues d'estimations du noyau de Bergman, et je terminerai par leur utilisation dans le cadre de méthodes de Monte Carlo. Ce dernier point est le fruit d'une collaboration avec Rémi Bardenet (Lille).

Christophe Leuridan
Algorithme itératif d'ajustement proportionnel et produits infinis de matrices stochastiques [pdf]

The iterative proportional fitting procedure (IPFP), introduced in 1937 by Kruithof, aims to adjust the elements of an array to satisfy specified row and column sums. Thus, given a rectangular non-negative matrix \( X_0\) and two positive marginals \(a\) and \(b\), the algorithm generates a sequence of matrices \((X_n)_{n \ge 0}\) starting at \(X_0\), supposed to converge to a biproportional fitting, that is, to a matrix \(Y\) whose marginals are \(a\) and \(b\) and of the form \(Y=D_1X_0D_2\), for some diagonal matrices \(D_1\) and \(D_2\) with positive diagonal entries. When a biproportional fitting does exist, it is unique and the sequence \((X_n)_{n \ge 0}\) converges to it at an at least geometric rate. More generally, when there exists some matrix with marginal \(a\) and \(b\) and with support included in the support of \(X_0\), the sequence \((X_n)_{n \ge 0}\) converges to the unique matrix whose marginals are \(a\) and \(b\) and which can be written as a limit of matrices of the form \(D_1X_0D_2\). In the opposite case (when there exists no matrix with marginals \(a\) and \(b\) whose support is included in the support of \( X_0\) ), the sequence \( (X_n)_{n \ge 0}\) diverges but both subsequences \((X_{2n})_{n \ge 0}\) and \((X_{2n+1})_{n \ge 0}\) converge. We prove again these results and determine the two limit-points in the case of divergence. Our proof relies on a new convergence theorem for backward infinite products \( \cdots M_2M_1 \) of stochatic matrices \(M_n\), with diagonal entries \(M_n(i,i)\) bounded away from \(0\) and with bounded ratios \(M_n(j,i)/M_n(i,j)\). This theorem generalizes Lorenz' stabilization theorem.

Maxime Ligonniere
Ergodic behavior of products of random positive operators [pdf]

This talk is devoted to the study of products of random positive operators of a certain form. Given a measurable set \(X\) of arbitrary cardinality and an ergodic sequence of positive operators \( (M_i)\) on the set of signed measures on \(X\) (endowed with the total variation norm), we consider the sequence of random products \(M_{k,n}=M_k \cdots M_{n-1}\) and obtain, under suitable conditions, a generalization of asymptotic results that were obtained by Hennion for \( d\times d\) matrices. More precisely, we prove that, under suitable assumptions, as \(n\) goes to infinity, for any finite, positive measures \( \mu_1, \mu_2\), almost surely, \( \mu_1 M_{0,n} \approx \frac{\mu_1(h)}{\mu_2(h)} \mu_2 M_{0,n}\), where \(h\) is a random positive and bounded function on \(X\), and obtain convergence results on the norm and direction of \(\mu_1 M_{k,n}\). Our approach is based on Doeblin-contraction methods inspired among others by Bansaye, Gabriel, Cloez. Some applications of our results to the study of population dynamics will be presented.

Oana Lupascu-Stamate
Asymptotic behaviour of a one-dimensional avalanche model through a particular stochastic process [pdf]

We develop the study of a binary coagulation-fragmentation equation which describes the avalanches phenomena. We construct first an adapted stochastic process and obtain its behaviour to the equilibrium. Our model is based on self-organized critical (SOC) systems and in particular on a simple sand pile model introduced in Bressaud and Fournier. Furthermore, we define a stochastic differential equation for this process and propose a numerical method in order to approximate the solution. The key point of our work is a new interpretation of the avalanches phenomena by handling stochastic differential equations with jumps and the analysis of the invariant behaviour of the stochastic process. The results are obtained jointly with Madalina Deaconu (Nancy). Lien article

Laure Marêché
Théorèmes limites pour une marche aléatoire auto-répulsive [pdf]

Dans cet exposé, on s'intéressera à une marche aléatoire non markovienne, telle que la probabilité que la marche aille en un point donné est plus faible si elle est déjà passée souvent le long de l'arête entre la position initiale et la cible. Les modèles de ce type les plus étudiés sont ceux dans lesquels les arêtes sont non orientées. Cependant, en 2008 Tóth et Vető ont introduit une telle marche aléatoire auto-répulsive avec des arêtes orientées, et découvert des propriétés très différentes de celles des modèles avec arêtes non orientées. Malgré l'intérêt d'un tel comportement, très peu de résultats ont été obtenus depuis sur ce modèle. On présentera de nouveaux théorèmes limites pour cette marche aléatoire.

Anthony Muraro
Processus de Hawkes discret avec inhibition [pdf]

Un processus de Hawkes est un processus ponctuel dont l'intensité conditionnelle, qui reflète la probabilité instantanée d’occurrence d'un nouvel événement, est aléatoire et dépend de l’ensemble du passé de ce processus. Lorsque cette probabilité augmente après un événement, on parle de processus auto-excitant, alors que lorsqu'elle diminue, on parle d’inhibition. Dans cet exposé, je considérerai une version discrète du processus de Hawkes, définie comme un processus auto-régressif de Poisson, incluant de l'inhibition. Plus précisément, je m'intéresserai au cas où ce processus possède une mémoire de deux temps, et je présenterai une classification complète du comportement asymptotique de ce processus en fonction des paramètres du modèle.

Rita Nader
Concentration estimates for slowly time-dependent singular SPDEs on the two-dimensional torus [pdf]

We consider slowly time-dependent singular stochastic partial differential equations on the two-dimensional torus, driven by weak space-time white noise. These SPDEs are ill-defined and a renormalisation in the Wick sense is needed to define a notion of solution due to the singularity of the space-time white noise in higher dimension. The main results are concentration estimates on sample paths near stable equilibrium branches of the equation without noise, measured in appropriate Besov and Hölder norms. A case involving a pitchfork bifurcation is discussed where the obtained results on the two-dimensional torus generalise to an infinite-dimensional setting those obtained for finite-dimensional SDEs. Lien article

Thi Trang Nguyen
On the associated martingale for a multi-type branching process in random environment [pdf]

We will show the construction of the associated martingale for a multi-type branching process in random environment that is related to a random version of the Perron-Frobenius theorem for products of random matrices. Our results even extends the Kesten and Stigum result to an arbitrary direction \(y\) and an arbitrary starting point \(x\).

Benoit Nieto
Estimation of threshold diffusions [pdf]

We refer by threshold diffusions to a class of continuous-time Markov process which admits a change of dynamics on a fixed level. We study the (quasi)-maximum likelihood estimation of the drift parameters, for continuous and discrete time observations. Two consistent estimators for the volatility parameters are also proposed. We discuss about the consistency and the speed convergence of these estimators in long time and high frequency for the ergodic case. Based of these results, we propose an application to the Threshold Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model.

Juan Carlos Pardo Millán
Processus de croissance-fragmentation en lien avec les excursions browniennes au-dessus des hyperplans [pdf]

Dans cet exposé, nous présentons un processus de croissance-fragmentation auto-similaire lié à une excursion brownienne au-dessus des hyperplans, obtenue en coupant l'excursion par des hyperplans. Pour chaque hauteur, ceci donne une famille (éventuellement vide, mais au plus dénombrable) de sous-excursions au-dessus des hyperplans, dont on définit la taille comme la différence entre le point d’arrivée et le point de départ. Cette taille est maintenant un vecteur de \(\mathbb{R}^{d-1}\). Notre résultat est alors que la collection de vecteurs ainsi obtenue forme un processus de croissance-fragmentation vectoriel (isotrope) dans \(\mathbb{R}^{d-1}\), dont l’épine est donnée par un processus de Cauchy multidimensionnel (en collaboration avec William Da Silva (Université de Vienne)).

Clément Pellegrini
Limite de bruits forts d'équations différentielles stochastiques [pdf]

Une équation différentielle stochastique (EDS) dite de bruits fort est une EDS pour laquelle un coefficient devant la volatilité (i.e devant le mouvement brownien dirigeant l'EDS) tend vers l'infini. Les processus limites obtenus à travers cette procédure sont non standards et sont décris à l'aide d'un processus de saut décorés de piques. Ces phénomènes apparaissent naturellement dans le cas de filtrage de chaine de Markov. Dans cet exposé nous montrerons la convergence de bruits forts qui ne peut pas être obtenue à l'aide des critères standards de convergence stochastique et nous décrirons de manière précise les processus limites.

Alexandre Richard
Régularisation par le bruit des EDS fractionnaires [pdf]

Dans cet exposé, on s'intéressera à l'EDS \(X_t = b(X_t) + dB_t\), où \(b\) est une distribution et \(B\) un mouvement brownien fractionnaire de paramètre de Hurst \(H \leq 1/2\). On présentera plusieurs résultats autour de ces équations, à commencer par une étude d’existence et d’unicité des solutions, puis de régularité de la loi des solutions, ainsi qu'un résultat d’approximation par un schéma d'Euler. Enfin on mentionnera des prolongements de ces travaux vers les équations de McKean-Vlasov et l'équation de la chaleur stochastique avec dérive distributionnelle. Lien article 1, article 2

Alain Rouault
Le théorème de Wschebor et ses descendants [pdf]

En 1992, Mario Wschebor a démontré un théorème sur la convergence de petits accroissements du brownien. Depuis lors, ce résultat a été généralisé au brownien fractionnaire, aux Lévy stables et à certaines diffusions. Des travaux récents de Garino et al. permettent de montrer que les processus de Hermite relèvent aussi du même traitement. Nous montrons qu'il existe une version du théorème en probabilités non-commutatives.

Patrice Sawyer
Heat kernels associated with root systems and the Dyson and Dunkl processes [pdf]

In our talk, we will discuss sharp estimates for the heat kernels associated with root systems in the rational Dunkl and trigonometric Dunkl settings. We prove our conjectured estimates in some important cases. In the rational setting, the heat kernel is closely related to the Dyson Brownian motion and to the Dunkl processes. The trigonometric Dunkl processes contain Brownian Motions on Riemannian symmetric spaces. We also show how sharp estimates for the heat kernel in the Dunkl setting lead to sharp estimates for the Newton kernel and \(s\)-stable semigroups. We observe that the situation is more complex in the trigonometric setting.

Benjamin Terlat
Regularity of the last passage percolation constant on complete directed acyclic graphs [pdf]

We introduce the model of last-passage percolation on the complete directed acyclic graph. For \(n \in \mathbb{N}^*\), consider the oriented graph with vertices \(\{1, \dots, n\}\) and with edges \((i,j)\) for all \(1 \leq i < j \leq n\). Consider \(\mu\) a probability distribution on \(\{-\infty\}\cup\mathbb{R}\) and associate i.i.d. weights with distribution \(\mu\) to each edge. The weight of an oriented path in the graph is defined as the sum of its edges' weights. The maximal weight \(W_n\) among all paths in the graph satisfies \(W_n \sim C(\mu) n \) as \(n\) tends to infinity, where \(C(\mu)\) is called the time constant. Mallein and Ramassamy proved the analyticity of \( p \mapsto C(\mu_p)\) for \(p \in (0,1]\), where \(\mu_p\) is the distribution such that \(\mu_p(\{1\})= p\) and \(\mu_p(\{-\infty\})= 1-p\). We extend this result to all the distributions supported by \(N\) atoms. When \(N=2\) and both atoms are positive, \(C(\mu)\) is even a rational function of those atoms and their probabilities. Finally, if \(\mu\) is a distribution with upper-bounded support (not necessarily atomic), we show that \(C(\mu)\) is a continuous strictly increasing function of \(\mu\).

Pierre Vallois
Premier instant où le maximum du mouvement Brownien franchit une droite [pdf]

On s’intéresse à la survie d’un animal qui, pour simplifier, est supposé se déplacer aléatoirement sur une ligne. Des unités de nourriture sont disposées sur la droite. Pour survivre l’animal consomme à chaque pas une unité de nourriture si le site sur lequel il arrive en contient encore et décède sinon. Il est possible de modéliser les déplacements de l’animal avec une marche aléatoire symétrique sur \(\mathbb{Z}\). Il est en fait plus facile de considérer une version à temps continu, où la marche aléatoire est remplacée par le mouvement Brownien linéaire \((B_t)\). Le temps de survie est alors le premier instant \(T\), où le maximum unilatéral au temps \(t\) est inférieur à \(a \times t\), où a est une constante positive. On détermine la densité conjointe de \(T\) et de \(B_T\). Le cas du mouvement brownien avec dérive est aussi considéré. Lien article

Julien Weibel
Limites de grands graphes denses pondérés [pdf]

Pour l'étude de grands graphes denses, L. Lovasz a introduit les graphons, objets qui généralisent la notion de matrice d'adjacence d'un graphe. Dans cet exposé, je présenterai les « graphons de loi », objets limites de grands graphes denses pondérés, que j'étudie dans le cadre de ma thèse. Ces graphons de loi sont des noyaux de probabilité \( W(x,y,dz)\) sur \([0,1]\times[0,1]\) où \(W(x,y,dz)\) représente la loi du poids (aléatoire) \(z\) de l'arête entre les sommets de type \(x\) et \(y\). Je présenterai différentes propriétés de ces graphons de lois qui sont analogues à celles des graphons de Lovasz (approximations, compacité, échantillonnage, etc.). Ces résultats sur les graphons de loi sont ceux d'un article dont nous terminons actuellement la relecture avec mes encadrants, et qui sera publié prochainement.